В геометрической прогрессии найдите наибольшее возможное значение первого члена, если сумма первых трех членов прогрессии равна 26, а b1+b3=20
Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
Sn = b₁(q^n - 1)/(q - 1)
Для n = 3: S₃ = 26
S₃ = b₁(q³ - 1)/(q - 1) = b₁(q² + q + 1)
b₁(q² + q + 1) = 26
Далее..
b₃ = b₁·q²
по условию:b₃ + b₁ = 20, т.е.
b₁·q² + b₁ = 20
или
b₁(q² + 1) = 20
Решим систему уравнений
b₁ = 20/(q² + 1)
20(q² + q + 1) /(q² + 1) = 26
20(q² + q + 1) = 26(q² + 1)
20q² + 20q + 20 = 26q² + 26
6q² - 20q + 6 = 0
3q² - 10q + 3 = 0
D = 100 - 36 = 64
√D = 8
q₁ = (10 - 8):6 = 1/3
q₂ = (10 + 8):6 = 3
При q₁ = 1/3
b₁ = 20/(1/9 + 1)= 18
При q₂ = 3
b₁ = 20/(9 + 1)= 2
Ответ максимально возможное значение 1-го члена геометрической прогрессии
b₁ = 18
b2=b1*q
b3=b1*q²
b1+b2+b3=b1+(b1+q)+(b1+q²)=b1(1+q+q²)=26
b1+b3=b1(1+q²)=20
Система уравнений с 2-мя неизвестными
b1(1+q+q²)=26
b1(1+q²)=20
Вычесть
b1*q = 6
b1=6/q
(6/q)(1+q²)=20
6q²-20q+6=0
D=400-144=256
q1= ⅓
q2= 3
b1₁=6/⅓=18
b1₂=6/3=2
Наибольшее значение 1-го члена = 18
