1) sin⁴x + sin⁴ (x + π/4) = 1/4
Для преобразований используем формулу для косинуса двойного угла
sin²х = (1 - cos 2x)/2
тогда
sin⁴х = (1 - cos 2x)²/4
Для преобразований используем формулу синуса суммы углов
sin (x + π/4) = sin x · cos π/4 + cos x ·sin π/4 = 1/√2 · (sin x + cos x)
sin² (x + π/4) = 1/2 ·(sin x + cos x)² = 1/2 ·(sin² x + 2sin x · cos x + cos² x) =
= 1/2 ·(1 + sin 2x)
sin⁴ (x + π/4) = [1/2 ·(1 + sin 2x)]² = 1/4 ·(1 + sin 2x)²
После преобразований получим такое уравнение:
(1 - cos 2x)²/4 + 1/4 ·(1 + sin 2x)² = 1/4
или
(1 - cos 2x)² + (1 + sin 2x)² = 1
раскроем скобки
1 - 2cos 2x + cos² 2x + 1 + 2sin 2x + sin²2x = 1
преобразуем
1 - 2cos 2x +1 + 1 + 2sin 2x = 1
2 - 2cos 2x + 2sin 2x = 0
1 - cos 2x + sin 2x = 0
2sin²x + 2sin x · cos x = 0
2sin x (sin x + cos x) = 0
sin x₁ = 0
x₁ = πn
sin x + cos x = 0
cos x ≠ 0
tg x₂ + 1 = 0
tg x₂ = -1
x₂ = -π/4 +πn
наимень ший положительный корень х = 3π/4
2)4 /sin x/ · sin(π/6 - x) = √3
2 /sin x/ · sin(π/6 - x) = √3/2
a) sin x≥ 0
2 sin x · sin(π/6 - x) = √3/2
Воспользуемся формулой для произведения синусов:
sin x · sin(π/6 - x)= 1/2 [cos(x - π/6 + x) - cos(x + π/6 - x)] =
= 1/2 [cos(2x - π/6) - cos π/6] = 1/2 [cos(2x - π/6) - √3/2]
подставим полученное в уравнение
2·1/2 [cos(2x - π/6) - √3/2] = √3/2
cos(2x - π/6) - √3/2 = √3/2
cos(2x - π/6) = √3
косинус не может быть больше 1, поэтому при sin x≥ 0 уравнение решений не имеет.
б) sin x ≤ 0
-2 sin x · sin(π/6 - x) = √3/2
Воспользуемся полученной выше формулой для произведения синусов:
sin x · sin(π/6 - x) = 1/2 [cos(2x - π/6) - √3/2]
подставим в уравнение
-2·1/2 [cos(2x - π/6) - √3/2] = √3/2
-cos(2x - π/6) + √3/2 = √3/2
cos(2x - π/6) = 0
2x - π/6 = π/2 + πn
2x = π/2 + πn + π/6
2x = 2π/3 + πn
x = π/3 + πn/2
наименьший положительный корень х = π/3
