HOME | Карта сайта

Ответ :

Сделаем замену y'=z(x), получим уравнение z'=z+x.

 

Выполним еще одну замену: z(x)=u(x)*v(x), вычислим

[tex]\frac{dz}{dx}=\frac{d}{dx}(u(x)+v(x))=(\frac{du}{dx}*v)[/tex]+[tex]\frac{dv}{dx}*u[/tex]

 

(du/dx)*v+u(dv/dx-v)=x (1) - таким стало уравнение после соответствующих подстановок.

 

 Теперь выбираем функцию v(x), так чтобы v'-v=0, чтобы обнулить слагаемое 

u(dv/dx-v) в уравнении (1). Решив это уравнение, оно элементарное с разделяющимися переменными, получим [tex]v=e^x[/tex]  Подставляем вычисленное v(x) в уравнение (1) и получаем: 

[tex]\frac{du}{dx}*e^x=x[/tex] , решаем его методом разделения переменных и получаем [tex]du=x*e^{-x}dx[/tex]

u(x)=[tex]-xe^{-x}-e^{-x}[/tex] +C, где C-константа.

 

Возвращаемся к выражению z(x)=u(x)v(x)=[tex]e^x[/tex]*( [tex]-xe^{-x}-e^{-x}[/tex] +C )=-x-1+C*e^x.

Т.е.

y'(x)=-x-1+C* [tex] e^x [/tex] . 

 

Решаем это уравнение  получаем dy=( -x-1+C* [tex] e^x [/tex] )dx 

Получаем y(x)=[tex]Ce^x-\frac{x2}{2}-x[/tex] +C1, где С и С1 это константы которые находятся из начальных условий.

 

Ответ:  y(x)=[tex]Ce^x-\frac{x2}{2}-x[/tex] +C1, где С и С1- const