Ответ:
Стороны прямоугольного треугольника равны 5 дм, 12 дм и 13 дм
Объяснение:
Информация. 1) Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле
[tex]\tt \displaystyle S=\frac{1}{2} \cdot a \cdot b,[/tex]
где a и b катеты прямоугольного треугольника.
2) Периметр треугольника равен сумме длин сторон, то есть
P = a+b+c,
где a, b и c катеты прямоугольного треугольника.
3) Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Решение. По условию:
а) площадь прямоугольного треугольника равен 30 дм² и поэтому
[tex]\tt \displaystyle \frac{1}{2} \cdot a \cdot b=30 \\\\a \cdot b=60;[/tex]
б) периметр прямоугольного треугольника равен 30 дм и поэтому
a+b+c = 30 или a+b = 30-c.
Далее, по теореме Пифагора
c² = a²+b² = a²+2·a·b+b²-2·a·b =
= (a+b)²-2·a·b = (30-c)²-2·60 =
= (30-c)²-120.
Отсюда
c² = (30-c)²-120
c² = 30²-60·c+c²-120
60·c = 900-120
60·c = 780
c = 13 дм.
Теперь имеем: a+b = 30-13 = 17. Получим систему уравнений и решим:
[tex]\tt \displaystyle \left \{ {{a \cdot b=60} \atop {a+b=17}} \right. \\\\ \left \{ {{a \cdot b=60} \atop {a=17-b}} \right. \\\\ \left \{ {{(17-b) \cdot b=60} \atop {a=17-b}} \right. \\\\ \left \{ {{17 \cdot b-b^2=60} \atop {a=17-b}} \right.[/tex]
[tex]\tt \displaystyle \left \{ {{b^2-17 \cdot b+60=0} \atop {a=17-b}} \right. \\\\ \left \{ {{b^2-5 \cdot b-12 \cdot b+60=0} \atop {a=17-b}} \right. \\\\ \left \{ {{(b-5) \cdot b-12 \cdot (b-5)=0} \atop {a=17-b}} \right. \\\\ \left \{ {{(b-5) \cdot (b-12)=0} \atop {a=17-b}} \right. \\\\ \left \{ {{b_1=5, \; b_2=12} \atop {a_1=17-5=12, \; a_2=17-12=5}} \right. .[/tex]
Значит, стороны прямоугольного треугольника равны 5 дм, 12 дм и 13 дм.
#SPJ1
