Ответ:
Высота должна быть равна [tex]2\sqrt[3]{2}[/tex]
Пошаговое объяснение:
Пусть сторона основания равна x, тогда площадь основания [tex]S = {x^2}[/tex].
Так как объем такой прямой призмы вычисляется по формуле [tex]V = SH[/tex], то
[tex]H = \displaystyle\frac{V}{S} = \displaystyle\frac{{64}}{{{x^2}}}.[/tex]
Площадь поверхности без крышки состоит из четырех площадей одинаковых боковых граней, каждая из которых прямоугольник со сторонами [tex]x[/tex] и [tex]\displaystyle\frac{{64}}{{{x^2}}},[/tex] и площади основания (дна), поэтому она равна
[tex]4 \cdot x \cdot \displaystyle\frac{{64}}{{{x^2}}} + {x^2} = \displaystyle\frac{{256}}{x} + {x^2}.[/tex]
Найдем минимум функции
[tex]S(x) = \displaystyle\frac{{256}}{x} + {x^2} = 256{x^{ - 1}} + {x^2}.[/tex]
Вычислим производную, применяя формулу [tex]\[({x^n})' = n{x^{n - 1}},\][/tex] и приравняем ее нулю.
[tex]S'(x) = - \displaystyle\frac{{256}}{{{x^2}}} + 2x = 0;\\\\\displaystyle\frac{{2{x^3} - 256}}{{{x^2}}} = 0;\\\\2{x^3} = 256;\\\\{x^3} = 128;\\\\x = \sqrt[3]{{{2^7}}} = 4\sqrt[3]{2}.[/tex]
С помощью метода интервалов убеждаемся, что проходя через эту точку производная меняет свой знак с минуса на плюс, таким образом, в этой точке достигается минимум функции.
При найденном значении [tex]x[/tex] высота равна
[tex]H = \displaystyle\frac{{64}}{{{x^2}}}=\displaystyle\frac{{64}}{{{16\sqrt[3]{4}}}}=2\sqrt[3]{2}.[/tex]
