Ответ:
Длина отрезка МК равна 3 ед.;
Величина угла ∠О₁АО₂ равна 36°.
Объяснение:
Требуется найти, чему равны длина отрезка MK и величина угла O₁AO₂.
Дано: ABCD - параллелограмм;
АВ = 2; ВС = 5;
∠АВС = 108°.
Окр.О₁, О₁Е - вписана в ΔАВС;
Окр.О₂, О₂Н - вписана в ΔАСD;
Точки М и К - точки касания.
Найти: МК; ∠О₁АО₂.
Решение:
1. Рассмотрим ΔЕВО₁ и ΔНО₂D.
⇒ ΔЕВО₁ и ΔНО₂D - прямоугольные.
⇒ ΔАВС = ΔACD.
⇒ О₁Е = О₂Н.
⇒ ∠В = ∠D.
⇒ ∠EBO₁ = HDO₂
ΔЕВО₁ = ΔНО₂D (по катету и острому углу).
⇒ ЕВ = НD (как соответственные элементы)
2. Пусть ЕВ = НD = х.
Тогда АЕ = 2 - х; АН = 5 - х.
⇒ АЕ = АМ = 2 - х (отрезки касательных);
АН = АК = 5 - х (отрезки касательных).
МК = АК - АМ = 5 - х - (2 - х) = 5 - х - 2 + х = 3
Длина отрезка МК равна 3 ед.
3. Нейдем ∠О₁АО₂.
⇒ ∠А = 180° - ∠В = 180° - 108° = 72°
или ∠ВАС + ∠CAD = 72°
Так как АО₁ и АО₂ - биссектрисы углов ВАС и CAD, то
∠О₁АО₂ = (∠ВАС + ∠CAD) : 2 = 72° : 2 = 36°
Величина угла ∠О₁АО₂ равна 36°.
