[tex]y^2(15x^2+28x+5)-2y(4x^2+19x+12)+(x^2+8x+16)=0;[/tex]
[tex]y^2(15x^2+28x+5)-2y(x+4)(4x+3)+(x+4)^2=0;[/tex]
1-й случай. 15x²+28x+5=0; x=-1/5 или x=-5/3 - не являются целыми.
Поэтому можно переходить ко 2-му случаю, когда коэффициент при квадрате y отличен от нуля, и тем самым можно использовать дискриминант для решения квадратного уравнения.
[tex]\frac{D}{4}=(x+4)^2(4x+3)^2-(x+4)^2=(x+4)^2(x-2)^2;[/tex]
[tex]y=\frac{(x+4)(4x+3)\pm(x+4)(x-2)}{15x^2+28x+5}=\left [ {{\frac{(x+4)(5x+1)}{(5x+1)(3x+5)}} \atop {\frac{(x+4)(3x+5)}{(5x+1)(3x+5)}}} \right. =\left [ {{\frac{x+4}{3x+5}} \atop {\frac{x+4}{5x+1}}} \right.[/tex]
Разбиваем на два подслучая:
y(3x+5)=x+4 и y(5x+1)=x+4.
Если y(3x+5)=x+4, то или y=0; x=-4 (одно решение получено), или должно быть выполнено |3x+5|≤|x+4| (иначе y оказался бы дробным);
[tex]\left \{ {{3x+5\le x+4} \atop {3x+5\ge -x-4}} \right.;\ \left \{ {{x\le-1/2} \atop {x\ge -9/4}} \right. .[/tex] В этом промежутке находится два целых числа - минус два и минус один. Если x=-2, то y=-2; если x=-1, то y=3/2 - дробный. Итак, получено еще решение (-2;-2).
Если y(5x+1)=x+4, снова получаем решение (-4;0), в противном случае должно быть выполнено |5x+1| ≤|x+4|;
[tex]\left \{ {{5x+1\le x+4} \atop {5x+1\ge -x-4}} \right.;\ \left \{ {x\le 3/4} \atop {x\ge -5/6}} \right. .[/tex] В этом промежутке только одно целое число - это ноль; x=0; y=4.
Ответ: (-4;0), (-2;-2), (0;4).
