Ответ:
1.
[tex]\int\limits \frac{dx}{(x + 1) \sqrt[3]{ ln(x + 1) } } \\ [/tex]
1/(x+1) - это производная логарифма, заносим под знак дифференциала
[tex]\int\limits \frac{1}{x + 1} \times \frac{dx}{ \sqrt[3]{ ln(x + 1) } } = \int\limits \frac{d ln(x + 1)) }{ {ln}^{ \frac{1}{3} }(x + 1) } = \\ = \frac{ {ln}^{ \frac{2}{3} } (x + 1)}{ \frac{2}{3} } + C = \frac{3}{2} \sqrt[3]{ {ln}^{2} (x + 1)} + C[/tex]
2.
[tex]\int\limits \frac{ {arcsin}^{5} (2x)}{ \sqrt{1 - 4 {x}^{2} } } dx \\ [/tex]
1/(1-4x^2)^(1/2)) - это производная акрсинуса. Заносим под дифференциал, но сначала добавим в него двойку, так как функция сложная.
[tex] \frac{1}{2} \int\limits \frac{ {arcsin}^{5}(2x)d(2x) }{ \sqrt{1 - 4 {x}^{2} } } = \\ = \frac{1}{2} \int\limits {arcsin}^{5} (2x)d(arcsin(2x)) = \\ = \frac{1}{2} \frac{ {arcsin}^{6}(2x) }{6} + C = \frac{ {arcsin}^{6}(2x) }{12} + C[/tex]
3.
[tex]\int\limits \frac{dx}{ { \cos }^{2}(3x) {tg}^{4} (3x) } \\ [/tex]
1/cos^2x - производная тангенса. Заносим под дифференциал, но сначала добавим 3.
[tex] \frac{1}{3} \int\limits \frac{1}{ { \cos}^{2}(3x) } \times \frac{d(3x)}{ {tg}^{4}(3x) } = \\ = \frac{1}{3} \int\limits {tg}^{ - 4} (3x)d(tg3x) = \frac{1}{3} \times \frac{ {tg}^{ - 3} 3x}{( - 3)} + C = \\ = - \frac{1}{9 {tg}^{3}(3x) } + C[/tex]
