Ответ:
Вы же сами пишите: [tex]-\cos(270^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha[/tex]
Поэтому [tex]\cos (270^{\circ} - \alpha) = -\sin \alpha = -0.59[/tex]
Думаю, вы просто не заметили/потеряли минус в [tex]-\cos(270^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha[/tex]
В силу четности косинуса , используя формулы приведения, получим cos(α-270°)=cos(270°-α)=-sinα, если sinα=0.59, то -sinα=-0.59; в ответе учебника записано верно.
Теперь о Вашем решении. -cos(270-α) = sinα, мы только что разобрали, у нас косинус получился равным минус синусу, Вы просто "не докрутили решение до логического завершения."
т.е. минус косинус равен 0.59, если Вас просили найти косинус, то Вы и получите 0.59, но с противоположным знаком, т.е. с минусом.
Удачи.