Данное уравнение является квадратным.
1) Рассмотрим случай, когда свободный член равен нулю.
[tex]p^2-1=0[/tex]
[tex]p=\pm 1[/tex]
При р=-1 [tex]x^2-3x=0[/tex] не имеет отрицательных корней.
При р=1 [tex]x^2+x=0[/tex] имеет один отрицательный корень (х=-1)
2) Рассмотрим случай, когда второй коэффициент при х равен нулю, а свободный член не равен нулю, т.е. при [tex]p= \frac{1}{2} [/tex]:
[tex]x^2+( \frac{1}{2} )^2-1=0\\ x^2= \frac{3}{4} [/tex]
Это уравнение имеет корни разных знаков.
3) Рассмотрим случай, когда уравнение является полным.
Условие существования по крайней мере одного корня - это [tex]D \geq 0[/tex]
[tex]D=(2p-1)^2-4(p^2-1)=4p^2-4p+1-4p^2+4=5-4p[/tex]
а) Если у уравнения возможен единственный отрицательный корень, то
[tex]p= \frac{5}{4} [/tex], тогда [tex]x=- \frac{3}{4} [/tex] - отрицательный.
Если существует два корня, то
[tex]x_{1,2}=\dfrac{(1-2p) \pm \sqrt{5-4p}}{2},\ p < \frac{5}{4} [/tex]
В таком случае оба корня могут оказаться отрицательными, но потребуем, чтобы отрицательным оказался меньший из этих корней:
[tex]\begin{cases} p < \frac{5}{4} \\ \dfrac{(1-2p)- \sqrt{5-4p}}{2}<0 \end{cases} <=> \begin{cases} p < \frac{5}{4} \\ \sqrt{5-4p}>1-2p \end{cases} [/tex]
Последняя система неравенств равносильна совокупности условий:
[tex]\begin{cases} p < \frac{5}{4} \\ p \leq \frac{1}{2} \\ 5-4p>1-4p+4p^2 \end{cases} [/tex] или [tex]\begin{cases} p < \frac{5}{4} \\ p > \frac{1}{2} \end{cases} [/tex]
[tex]\begin{cases} p \leq \frac{1}{2} \\ 4p^2<4 \end{cases}[/tex] или [tex]\frac{1}{2}<p<\frac{5}{4}[/tex]
[tex]\begin{cases} p \leq \frac{1}{2} \\ -1<p<1 \end{cases}[/tex]
[tex]p \in (-1;\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; \frac{5}{4})[/tex]
Итак, [tex]p \in (-1; \frac{5}{4})[/tex]
