На катете АС прямоугольного треугольника АВС как на диаметре построена окружность. Она пересекает гипотенузу АВ в точке D, АС = b, AD/DC = 4/3. Найти расстояние от точки В до центра окружности.
Получается треугольник АДС, вписанный в окружность с диаметром АС.
Следовательно треугольник АДС прямоугольный и в нём АС гипотенуза.
Так как в прямоугольном треугольнике АВС СД перпендикулярно гипотенузе АВ---->
треугольник АВС подобен треугольнику СВД и треугольнику АСД. Из подобия треугольников следует, чт стороны у них пропорциональны.
СВ:АС = СД:АД -------> СВ = АС*СД/АД = в*3/4. Пусть О центр описанной окружности -------> АО = ОС = АС/2 = в/2
ВО = V(ВС^2 + OC^2) = V((3в/4)^2 + (в/2)^2) = V(9в^2/16 + в^2/4) = V(13в^2/16) =
= вV13/4
Ответ. вV13/4
1) угол СДА вписанный, опирается на диаметр, значит он равен 90 градусов, значит треугольник АСД прямоугольный. По теореме Пифагора в^2= (4х)^2 + ( 3х)^2, откуда х=в/5.
Значит АД=4в/5, а СД=3в/5.
2) Т.к. угол СДА прямой, значит СД - высота прямоугольного треугольника АСВ, а значит, что она есть среднее геометрическое отрезков АД и ДВ, т.е. СД^2= АД*ДВ. Получаем
9в^2/25=4в/5*ДВ, откуда ДВ = 9в/20. Значит АВ = АД+ДВ= 5в/4.
3) катет СВ=4в/4 по теореме Пифагора.
4) в треугольнике ОСВ по теореме Пифагора ОВ=корень квадратный из 13 умноженный на в и деленный на 4.
