Требуется решить неравенство
[tex]\frac{x^2}{f(x)} > 64 \cdot f(\frac{1}{x})[/tex]
для функции, заданной как [tex]f(u) = u^{-3}[/tex].
В таком случае имеем
[tex]\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{x^{-3}} = x^3[/tex]
[tex]f\left(\frac{1}{x}\right) = \left(\frac{1}{x}\right)^{-3} = x^3[/tex]
Упрощаем неравенство
[tex]\frac{x^2}{f(x)} > 64 \cdot f(\frac{1}{x}) \; \Leftrightarrow \; {x}^2 \cdot {x}^3 > 64 \cdot x^3[/tex]
[tex]{x}^5 - 64 \cdot x^3 > 0[/tex]
[tex]{x}^3 \left(x^2 - 64\right) > 0[/tex]
[tex]{x}^3 \left(x - 8\right)\left(x + 8\right) > 0[/tex]
Имеем интервалы знакопостоянства:
[tex]\left(-\infty;\: -8\right)[/tex], где [tex]{x}^3 \left(x - 8\right)\left(x + 8\right) < 0[/tex] (чтобы узнать, что на этом интервале <0 или, наоборот, >0, можно подставить любое значение [tex]x < -8[/tex], например, -10)
[tex]\left(-8;\: 0\right)[/tex], где [tex]{x}^3 \left(x - 8\right)\left(x + 8\right) > 0[/tex]
[tex]\left(0;\: 8\right)[/tex], где [tex]{x}^3 \left(x - 8\right)\left(x + 8\right) < 0[/tex]
[tex]\left(8;\: +\infty\right)[/tex], где [tex]{x}^3 \left(x - 8\right)\left(x + 8\right) > 0[/tex]
Ответ: при [tex]-8 < x < 0[/tex] и [tex]x > 8[/tex].
Условная запись ответа объединением множеств: [tex]x \in (-8;\;0) \cup (+8; +\infty)[/tex]
