Замена переменной и выделение полного квадрата
[tex] \int{ \frac{e^x dx}{e^{2x}+e^x+1}= [e^x=t;d(e^x)=dt]= \int{ \frac{dt}{t^{2}+t+1}= \int{ \frac{dt}{(t+ \frac{1}{2}) ^{2} +\frac{3}{4} }=[/tex]
Формула
[tex] \int{ \frac{dx}{ x^{2} +a ^{2} } }= \frac{1}{a}arctg \frac{x}{a}+C [/tex]
Получаем
[tex]= \frac{1}{ \sqrt{ \frac{3}{4} } }arctg \frac{t+ \frac{1}{2} }{\sqrt{ \frac{3}{4}} }= \frac{2}{ \sqrt{3} } arctg \frac{2t+1}{ \sqrt{3} }+C= = \frac{2}{ \sqrt{3} } arctg \frac{2 e^{x} +1}{ \sqrt{3} }+C= [/tex]
