1).
Вначале заметим, что первообразная скорости равна пройденному пути, откуда имеем следующее:
[tex]\displaystyle F(t) = 9 \cdot \frac{t^3}{3} - 8 \cdot \frac{t^2}{2} = 3t^3-4t^2[/tex]
Для того, чтобы найти путь, пройденной точкой за четвертую секунду, найдем путь, который точка прошла за четыре секунды и за три секунды, а затем из первого вычтем второе.
[tex]F(4) = 3t^3-4t^2 = 3 \cdot 4^3 - 4 \cdot 4^2 = 128[/tex]
[tex]F(3) = 3t^3-4t^2 = 3 \cdot 3^3 - 4 \cdot 3^2 = 45[/tex]
Считаем разность:
[tex]F(4) - F(3) = 128 - 45 = 83[/tex]
Ответ: точка прошла [tex]\bold {83}[/tex] метра за четвертую секунду.
2).
Для нахождения площади этой фигуры можно, во-первых, воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница для вычисления интегралов:
[tex]\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \; dx = F(b) - F(a)[/tex]
В нашем случае (если приравнять [tex]y=2x[/tex] и [tex]y=0[/tex]) [tex]f(x)=2x[/tex].
[tex]b=4[/tex] (как решение уравнения [tex]2x=4[/tex])
[tex]a=0[/tex] (как решение уравнения [tex]2x=0[/tex])
Найдем сам интеграл:
[tex]\displaystyle \int\limits^4_0 { \Big(2x \Big)} \; dx = F(4) - F(0) = x^2 \; |^4_0 = 4^2 - 0^2 = 16[/tex]
Можно было пойти по-другому: изобразить все на координатной плоскости (смотрите вложенный файл) и по формуле площади прямоугольного треугольника [tex]S = ab/2[/tex] найти площадь [tex]\triangle {ABC}[/tex]:
[tex]\displaystyle S \Big ( \triangle {ABC} \Big ) = \frac{AC \cdot BC}{2} = \frac{4 \cdot 8}{2} = 16[/tex]
В обоих случаях получился одинаковый ответ!
Ответ: площадь фигуры равна [tex]\bold {16}[/tex].
